Introducción a sistemas dinámicos

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Esto va a ser un curso introductorio a la teoría de los sistemas dinámicos. Vamos a introducir las nociones fundamentales utilizando ejemplos.

Horario:

Miércoles y viernes 9.00-10.50, Aula: O_304.

Horario de atención: Viernes: 11.00-12.30. Oficina: H-001.

Syllabus

Libro de texto y notas:

Corinna Ulcigrai, Lecture notes on Dynamical Systems, 2018. (En inglés). Parte I: Nociones básicas. Parte II: Dinámica topológica y simbólica. Parte III: Teoría ergodica. Parte IV: Flujos.
Michael Brin, Garrett Stuck, Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press, Cambridge, 2002.

Tareas

Examenes

Parcial

Diario de las lecciones:

23/01: Introducción al curso.
25/01: Definiciones de bases: sistemas dinámicos discretos y continuos. Puntos periódicos y prepreriódicos. Rotaciones del circulo: dicotomía de las órbitas. Equidistribución modulo 1 y teorema de Weyl: las órbitas de las rotaciones irracionales son equidistribuidas modulo 1. Mapeo de duplicación del circulo. Codifica binaria de los reales. Semiconjucación entre el mapeo de duplicación y el desplazamiento lateral. Puntos periódicos por el mapeo de duplicación.
30/01: Construcción de una órbita densa para el mapeo de duplicación. Mapeo del panadero y extensiones naturales. Semiconjucación del mapeo del panadero con el desplazamiento completo. Endomorfismos y automorfismos continuos del toro. Ejemplo CAT de Arnol’d. Definición de automorfismo toral hiperbólico. Los puntos racionales en el toro son puntos periódicos por un automorfismo toral.
01/02: Los puntos periódicos de un automorfismo toral son racionales. Teorema de Pick y numero de puntos periódicos de período n. Familia cuadrática y análisis grafica. Puntos fijos atractores y repulsores. Relación entre modulo de la derivada y estabilidad, cascada de duplicaciones de períodos. Mapeo de Gauss y fracciones continuas, definiciones.
06/02: Las digitas de la fracción continua de un irracional son el itinerario del mapeo de Gauss. Ejemplos: Herradura y el conjunto de Cantor. Flujos y ecuaciones diferenciales. Hamiltonianas. Flujos especial y mapeo de Poincaré. Ejemplo del flujo lineal en el toro.
08/02: Flujo lineal en el toro como suspension de una rotación. Definiciones de distancia y de topológia en espacios metricos. Sistemas dinámicos topológicos: transitoriedad topológica, minimalidad y mezclamiento topológico. Ejemplos.
13/02: Mezclamiento topológico del mapeo del panadero. Conjugación topológica. Ejemplo de conjugación entre el mapeo cuadrático y el mapeo carpa. Transitividad, minimalidad y mezclamiento topológico son propiedades topológicas. Dos rotaciones son topológicamente conjugadas si y solo si los ángulos son iguales modulo 1. Frecuencia de las digitas de las potencias de 2.
15/02: Definición de chaos según Devaney. Entropía topológica. Distancia de Bowen. Conjuntos separados y generadores, ejemplo del mapeo de duplicación.
20/02: Entropía con conjunto separados y generadores son iguales. La rotaciones tienen entropía cero. Entropía de un automorfísmo hiperbólico del toro.
22/02: Entropía por recubrimientos. Ejemplos. Cov(n, epsilon) es sub-adictiva. Equivalencia de las definiciones de entropía. La entropía no depende de la métrica, sino de la topológia. Propiedades de la entropía topológica.
27/02: Dinámica simbólica: matriz de transición. Cadenas de Markov topológicas y grafos asociados. Número de caminos entre vertices del grafo y de las órbitas periódicas. Métrica para los shifts. Cilindros admisibles y simétricos. Matriz irreducible implica transitividad topológica (y vice versa).
01/03: Matriz aperiodica implica mezclamiento topológico. Entropía topológica para cadenas de Markov topológicas. Partición de Markov para el mapeo CAT (sketch).
06/03: Repase de teoría de la medida: álgebras de conjuntos, extensiones y medidas. Medida de Dirac, ejemplos de medidas de Lebesgue. Ejemplo de un conjunto non medible, enunciado del teorema de Banach-Tarski. Transformaciones que preservan una medida, ejemplos: rotaciones, mapeo de duplicación, CAT.
08/03: El mapeo de Gauss preserva la medida de Gauss en [0,1]. Integrales con respecto a una medida. Generalización del cambio de variables y conexión con preservación de la medida.
13/03: Recurrencia de Poincaré. Transformaciones ergodicas, descomposición de medidas por una transformación non ergodica. Las rotaciones racionales no son ergodicas. Teorema de densidad de Lebesgue y ergodicidad del mapeo de duplicación.
15/03: Ergodicidad y funciones invariantes. Serie de Fourier, las rotaciones irracionales y los mapeos hiperbólicos del toro son ergodicos.
20/03: Repase.
22/03: Examen parcial.
27/03: Corrección parcial. Teorema de Birkhoff (enunciado), corolario para transformaciones ergodicas.
29/03: El teorema de Birkhoff caracteriza las transformaciones ergodicas. Transformaciones inducidas y rascacielos de Kakutani. Lema de Kac y enuciado del Lema de Kakutani-Rokhlin (EW: pp. 61–64).
03/04: Definiciones de mezclamiento y mezclamiento débil. Mezclamiento implica ergodicidad. El mapeo de duplicación es mezclante. Medidas de Bernoulli para los shift. Las medidas de Bernoulli son mezclantes.
05/04: Medida de Markov sobre cadenas de Markov. Teorema de Perron-Frobenius para matrices estocásticas. Las cadenas de Markov son mezclantes (enunciado). Descripción del algoritmo PageRank de Google (MR: pp. 330–335).
10/04: Demostración que las cadenas de Markov son mezclantes. Demostración que una matriz positiva es una contracción para la distancia de Hilbert (V: pp. 139–146, con más detalles).
12/04: Descripción de la renormalización para rotaciones (Z: pp. 48–50). El mapeo de Gauss es ergodico (enunciado y idea de la prueba), consecuencias para las estadísticas de los dígitos de la fracción continua de un número genérico. (EW: pp. 79-86, con mucho más detalles)

Referencias adicionales

Algunos temas no están en los libros escritos arriba, estas son las referencias.

EW: M. Einsiedler, T. Ward: Ergodic Theory, with a view towards number theory, Springer-Verlag, London, 2011. (disponible en la biblioteca)
MR: D. Margalit, J. Rabinoff: Interactive Linear Algebra, disponible acá, también en PDF.
V: M. Viana: Dynamics of Interval Exchange Transformations and Teichmüller Flows, preprint, disponible acá.
Z: A. Zorich, Flat Surfaces, disponible en arXiv.