Teoría Ergódica

Escher, Circle Limit III. Image courtesy of Wikimedia.

Esto va a ser un curso introductorio a la teoría ergódica y a la dinámica homogénea, estudiando los flujos geodésicos y horociclos en superficies hiperbólicas.

Horario:

Miércoles y Viernes: 12.00-13.50, Aula: SD_405 (Miércoles) y O_401 (Viernes).

Horario de atención: Lunes: 14.00-16.00, o por cita. Oficina: H-001.

Syllabus

Libros:

M. Einsiedler, T. Ward: Ergodic Theory, with a view towards number theory, Springer-Verlag, London, 2011.
B. M. Bekka, M. Mayer, Ergodic Theory and Topological Dynamics of Group Actions on Homogeneous Spaces, Cambridge University Press, Cambridge, 2000.

Referencias adicionales

C. Series, The Modular surface and Continued Fractions, Journal of the London Mathematical Society (2), 31 (1985), 69-80.
J. Moreira, The horocycle flow is mixing of all orders
K. Oliveira, M. Viana, Foundations of Ergodic Theory, Cambridge University Press, Cambridge, 2016.
O. Sarig, Lecture notes on Ergodic Theory, online aquí.

Tareas

Proyecto final

Toda la información sobre el proyecto final, y sugerencias sobre posibles proyectos, se encuentra aquí

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Diario de las lecciones:

09/08: Introducción, definiciones de base, enunciado recurrencia de Poincaré.
14/08: Recurrencia de Poincaré, teorema ergódico de von Neumann, enunciado de Birkhoff.
16/08: Teorema de Birkhoff y teorema ergódico maximal. Defición de ergódicidad y su caracterización.
21/08: Caracterización de la ergódicidad. Ergódicidad via serie de Fourier. Las rotaciones irracionales y el mapa de duplicación son ergódicas. Interpretaciones de la ergódicidad. Teorema de Borel sobre números normales.
23/08: Teorema de Kac, rascacielos de Kakutani, lema de Kakutani-Rokhlin. Espacio de las medidas de probabilidad y de Borel, topología *-debil. Existencia de medidas invariantes por un mapa continuo en un espacio métrico compacto.
28/08: Caracterización medidas ergódicas como puntos extremales del convexo de las medidas invariantes. Ejemplo del mapa norte-sur. Medidas ergódicas distintas son mutuamente singulares. Descomposición ergódica de las medidas. Definición de unicamente ergódico. Las rotaciones irracionales son unicamente ergódicas. Descomposición ergódica de la rotación del disco unitario en C.
30/08: Definiciones equivalentes de única ergódicidad. Equidistribución y puntos genéricos. Teorema de Weyl. Definición de mezclamiento y mezclamiento débil.
04/09: Los shift de Bernoulli son mezclantes. Equivalencia entre las definiciones de mezclamiento débil.
06/09: Introducción a la geometría hiperbólica. Modelo del semiplano de Poincaré, métrica hiperbólica, transformaciones de Möbius y acción de PSL(2,R) sobre H, H como espacio homogéneo. Geodésicas por i.
11/09: Geodésicas en el plano hiperbólico. Definición de flujos geodésico y horocíclico. Grupos fuchsianos y superficies hiperbólicas.
13/09: Flujos geodésicos y horocíclicos desde el punto de vista geométrico y algebraico. Dominio fundamental y dominio de Dirichlet (solo definición). Dominio fundamental de PSL(2,Z).
18/09: Demostración que un dominio de Dirichlet es un dominio fundamental. Grupos triangulares. Formula del área de un triangulo hiperbólico (Gauss-Bonnet). Comienzo de la demostración del teorema de Siegel sobre estructura de dominios de Dirichlet.
20/09: El borde del dominio de Dirichlet es geodésico. Demostración del teorema de Siegel. Flujos geodésico y horocíclico en superficies hiperbólicas. El flujo geodésico es Anosov.
25/09: Ergodicidad por el flujo geodésico por el argumento de Hopf.
27/09: Lemma de clausura de Anosov. Las órbitas periódicas por el flujo geodésico son densas. Imposibilidad de clasificar las medidas invariantes por el flujo geodésico. Fracciones continuas, mapa de Gauss. Teselado de Farey.
9/10: Sucesión de codifica de geodésicas segundo el teselado de Farey. Relación entre sucesiones de codifica y fracciones continuas. (Referencia: Series)
11/10: Codifica de geodésicas y mapa de Gauss. Medida en T^1 H y medida de Gauss. (Referencia: Series).
16/10: Descomposición KAN de Iwasawa para SL(2,R). Diferencias entre acciones de los distintos subgrupos de SL(2,R). Representaciones unitarias. Los elementos que no son conjugados con rotaciones actúan de manera ergódica.
18/10: La acción de SL(2,R) es mezclante. Desvanecimiento de los coeficientes matriciales para representaciones unitarias de SL(2,R). Mezclamiento de orden n. Enunciado que el horociclo es mezclante de todos ordenes.
23/10: El flujo horociclo es mezclante de todos ordenes. Enunciando del Lema de Van der Corput robusto (Referencia: Moreira). Sketch de la prueba de Mozes.
25/10: Enunciado del teorema de Dani de rigidez de las medidas invariantes y ergódicas para el flujo horocíclico. Relación entre órbitas periódicas para el flujo horocíclico y cuspidis.
30/10: Demostración del teorema de Dani. Proposición de Margulis sobre convergencia de los promedios ergódicos, thickening.
01/11: Enunciado de la non divergencia cuantitativa para el flujo horocíclico (Dani; Margulis). Interpretación de X_n = SL(n,Z) \ SL(n,R) como espacio de módulos de los retículos unimodulares en R^n. Criterio de Mahler por la compacidad de conjunto en X_n.
06/11: Non divergencia cuantitativa para el flujo horocíclico en la superficie modular.
08/11: Cuspidis como clases de equivalencia de subgrupos parabolicos maximales. Non divergencia cuantitativa para el flujo horocíclico en el caso general. Teorema de Dani-Smillie sobre equidistribución de los horociclos.